Что такое выпуклый четырехугольник и как определить сумму его углов

Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.

Виды

Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.

На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.

Виды выпуклых четырехугольников:

• прямоугольник;
• параллелограмм;
• трапеция;
• ромб;
• квадрат.

Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.

Свойства

Главные признаки:

• сумма углов — 360 градусов;
• диагонали могут пересекаться в одной точке.

Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.

Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).

Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.

Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.

Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.

Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:

Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:

В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.

Вписанные и описанные

Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.

Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.

Расчет площади

Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.

Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

Полезное видео

Подведем итоги

Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.