Что такое относительная и абсолютная погрешность

Понятия приближенных значений известны науке с древнейших времен. После открытия пифагорейцами иррациональных чисел приближенными вычислениями стали заниматься более серьезно. Но понятие само погрешности появилось лишь в XV веке.

Как определить

Приближенное значение определяется следующим образом:

Число а называется приближенным значением некоторого числа А, если его значение несколько отклоняется от значения А. При этом:

• если а < А, то а – это приближение по недостатку;
• если а > А, то а – это приближение по избытку.

Разность между числом А и его приближенным значением а называют ошибкой или погрешностью. Ошибку приближенной величины а обозначают как Δа:

Δа = А — а

Модуль разности между величиной и ее приближенным значением называется абсолютной погрешностью. Ее часто обозначают греческой буквой Δ:

Δ = |А — а|

Запись приближенного результата при этом имеет вид:

а ± Δ

В простейших случаях, когда значение величины А известно точно, абсолютная погрешность вычисляется просто. Рассмотрим такой пример:

Пусть точное значение А = 2/625 = 0,0032, а его приближенное значение а = 0,003.

В этом случае абсолютная погрешность будет:

Δ = |0,0032 — 0,003| = 0,0002

Но на практике такие простые задачи встречаются редко. Гораздо чаще точное значение А вообще неизвестно. В этих случаях абсолютная погрешность определяется при помощи разных способов, в зависимости от условий конкретной задачи.

Если речь идет об измерениях, то под абсолютной погрешностью понимают разность между показаниями измерительного прибора и истинным значением величины.

Связь абсолютной и предельной абсолютной погрешностей

Как уже говорилось, в большинстве случаев точное значение величины А нам неизвестно. Это означает, что точное значение абсолютной погрешности найти просто невозможно, и приходится лишь оценивать ее каким-то числом, которое называют предельной абсолютной погрешностью Δа. При этом справедливо неравенство:

Δа > Δ = |А — а|

Предельная абсолютная погрешность может иметь бесконечное количество значений. Ведь если нам удалось оценить какое-то значение Δа, то все числа, которые больше него, тоже будут удовлетворять определению предельной абсолютной погрешности. Для решения практических задач нужно стараться найти минимальное значение Δа.

Относительная погрешность

Если внимательно проанализировать определения, то становится очевидно, что ни абсолютная погрешность, ни предельная абсолютная погрешность не могут хорошо характеризовать точность, с которой выполнены измерения или вычисления. Например, если мы вычисляем или измеряем расстояние от Земли до Солнца, то абсолютная погрешность в 1 метр – это ничтожно мало. Но если мы измеряем рост человека, то точно такая же абсолютная погрешность в 1 м – это недопустимо много.

Оценить насколько «хороша» полученная абсолютная погрешность позволяет величина, называемая относительной погрешностью δ. Она равна отношению абсолютной погрешности к модулю самой величины:

δ = Δ / |А|

Аналогично определяется предельная относительная погрешность:

δа = Δа / |А|

Относительные погрешности часто вычисляются в процентах, то есть:

δ = Δ / |А| * 100%

Простейшие примеры вычисления погрешностей

Рассмотрим несколько наглядных примеров определения погрешностей.

Пример 1

Дано значение числа А = 0,2656. Округлить его до трех значащих цифр, вычислить абсолютную и относительную погрешности.

Решение:

А = 0,2655.

Приближенное значение: а = 0,266.

Абсолютная погрешность: Δ = |А — а| = |0,2655 – 0,266| = 0,0005.

Относительная погрешность: δ = Δ / |А| * 100% = 0,0005/0,2655*100 = 0,188%.

Ответ: Δ = 0,0005; δ = 0,188%.

Пример 2

Даны значение числа А = 5,8650 и его относительная погрешность δ = 2%. Найти абсолютную погрешность.

Решение:

δ = Δ / |А| * 100%, следовательно

Δ = А * δ / 100 = 5,8650 * 2 / 100 = 0,1173.

Ответ: Δ = 0,1173.

Пример 3

Расстояние А = 12,5 км было измерено с точностью до 5 м, а расстояние В = 10 м было измерено с точностью до 1 см. Какое из этих измерение является более качественным?

Дано:

А = 12,5 км = 12500 м;

ΔА = 5 м;

В = 10 м = 1000 см;

ΔВ = 1 см.

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, нам нужно сравнить относительные погрешности измерений. Имеем:

δА = ΔА / |А| * 100% = 5 / 12500 * 100 = 0,04%.

δВ = ΔВ / |А| * 100% = 1 / 1000 * 100 = 0,1%.

Так как δВ > δА, то качество измерения расстояния В ниже, чем качество измерения расстояния А.

Ответ: Измерение расстояния А является более качественным.

Об абсолютной и относительной погрешности в видео:

О том как найти процент от числа читайте на нашем сайте по ссылке.