Числовые ряды: определения, свойства, примеры и решения

Числовые ряды постоянно применяются в математических задачах. Например, с помощью них вычисляют значения тригонометрических функций. Также последовательности есть в теоритической физике. Чтобы знать, что работа делается не напрасно, учитываются признаки сходимости числовых рядов.

Кратко о последовательностях

Простыми словами, последовательность в математике – это расположенные друг за другом числа или функции. Расположение их должно подчиняться определенному правилу. То есть, если взять какую-то последовательность и поменять у нее местами первый и второй элемент, то это уже будет другой набор.

Также у каждого элемента должен быть порядковый номер. В противном случае все это не будет иметь смысла.

В практических задачах все записывается так: xa=5*a – это называется формулой общего члена. Подставляя вместо n порядковые номера, мы будем получать элементы набора.

Например, 1-ый член равен 5*1=5, 2-ой: 5*2=10 и т. д.

Другой пример: xa=1a. Элементами здесь будут: 1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.

Самые часто используемые примеры набора – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предел числовой последовательности

Возьмем простой пример: x=10a. Если мы будем до бесконечности увеличивать n, то и результат будет увеличиваться до бесконечности. То, к чему стремятся элементы набора при увеличении n, называется пределом. Математически это записывается так: 10a =.

Определение числовой последовательности

Также предел можно описать и по-другому. Возьмем: xa=(-1)a+1a. Членами здесь будут: 1, -1/2, 1/3, -1/4 и т. д. Пределом будет 0.

Теперь изобразим числовую прямую и некоторые элементы последовательности.

От точки 0 нарисуем в положительную и отрицательную сторону E-области произвольного размера. Они обозначены синим цветом.

Согласно строгому определению, пределом последовательности будет число 0, если в E-области находится бесконечное количество членов последовательности, а во вне области – конечное число.

Таким образом, предел последовательности – это число а=0, если для любой Е-области внутри нее окажется бесконечное количество элементов, а вне области – конечное число.

Последовательность не обязательно будет стремиться к 0. Вместо нуля может быть иная цифра. Также E-области не обязаны быть с отрицательной и положительной стороны. Например, у последовательности xa=1a все члены «подбираются» к нулю с правой стороны.

В зависимости от того, чему равен предел, последовательность будет называться сходящейся – если он равен конкретному силу – или расходящейся – если бесконечности.

Как найти предел последовательности

Для этого достаточно в формулу общего элемента подставить в lim, стремящийся к бесконечности, и решить его. Возьмем такой пример: x=(2a-1)3+(1-3a)38a3-2a. Решение и комментарии ниже.

Обратите внимание на ход действий:

1. Получаем неопределенность.
2. Упрощаем числитель. Раскрываем скобки по формуле куб разности и приводим подобные слагаемые.
3. Неопределенность осталась, но ее можно решить по правилу – числитель и знаменатель делим на n в степени 3, так как это старшая степень. Решаем полученное выражение как обычный предел, подставляя вместо n бесконечность.

В итоге получаем, что lim равен -19/8.

Числовой ряд: что это

Определение числового ряда – это бесконечное количество чисел, которые можно представить как сумму. Записывается: a=1ta. Вместо t может быть любая формула. Для тренировки попробуйте записать первые четыре члена a=1(2a+1).

Также существуют виды числовых рядов:

1. Положительные – сумма, у которой все числа положительные. Пример: n+1.
2. Чередующиеся – ряды, у которых знаки соседних членов отличаются. Пример: (-5)^n. Элементами тут будут: -5, 5, -5 и т. д.
3. Переменный – еще одна разновидность. В примерах встречаются положительные и отрицательные числа.

Сходимость

Главные характеристики числового ряда – это конвергентность (сходимость), из которой следует вторая характеристика – сумма.

Существует много признаков, но среди них выделяется базовый, который еще называют необходимым: если предел, например 10a , где вместо 10^a может быть любой общий член, ≠0 или lim не существует, то числовая сумма расходится. Важно отметить, что обратное утверждение неверно: если предел = 0, то последовательность может сходиться или расходиться.

Возьмем a=1(2a+1), предел от 2a+1 равен бесконечности, значит, числовой ряд расходится. В любой задаче, сначала нужно проверить, стремится ли к нулю выражение под знаком суммы. Если нет, то расходится, если да, то нужно применять другие признаки сходимости числовых рядов.

Предельный

Используется, когда есть многочлены в любом месте дроби.

Если для a=1taи a=1ya справедливо равенство: taya =А, где А любая цифра кроме нуля, то обе числовые суммы или сходятся или расходятся.

Рассмотрим такой пример: нужно исследовать на сходимостьa =11a2-a. В качестве ya возьмем гармонический сходящийся ряд: a=11a2. Вычисляем предел.

В итоге получилась единица, а значит, исходный ряд сходится, как и a=11a2.

Мы выбрали 1a2, так как старшая степень исходной дроби – это 2. Чтобы определить старшую степень, возьмите самый большой показатель знаменателя и вычтите из него самый большой показатель числителя. Например: a2a+a. Здесь: 4-2=2, следовательно, ст. степень = 2.

Сходимость гармонического ряда

Чтобы применять предельный признак, нужно уметь определять, когда гармоническая сумма расходится и сходится. Если вы не знаете, что это такое, то выглядит числовой ряд так: n=11na. В качестве a может быть любое положительное число.

Если a <= 1, то числовая сумма расходится, если a > 1, то сходится.

Признак Даламбера

Чтобы успешно использовать Даламбера, нужно хорошо разбираться в это теме. По крайней мере, вы должны понимать, как раскрываются неопределенности. Признак применяют, когда дробь содержит числа в степени, зависящей от n.

Исследуется такой числовой ряд легко, нужно вычислить предел: an+1an . Он должен быть равен любому положительному числу.

Дальше смотрим на результат. Если lim равен числу, которое меньше единицы, то сумма сходится. Если результат больше единицы, то – расходится. Также бывают случаи, когда lim равен единице. Это означает, что признак не работает и вам нужно применить другой, чаще всего Коши.

Пример: n=1n2+n-14n. В знаменателе есть число, у которого в показателе буква n, значит, применяем Даламбера. Решение.

Рассмотрим его по шагам:

1. Применяем формулу.
2. В числитель дроби записываем общий член, но вместо «n» пишем «n+1».
3. Избавляемся от четырехэтажной дроби.
4. Раскрываем скобки и приводим подобные.
5. Получаем неопределенность.
6. Делим дробь на n в старшей степени.

В итоге получаем 1/4 < 1, следовательно сходится.

Радикальный признак Коши

Применяется, когда из общего члена можно извлечь корень.

Если для ряда справедливо nan =D, где an – член ряда, а D отличное от 0 число, то:

• D < 1 – сходится;
• D > 1 – расходится;
• D = 1 – признак не работает.

Пример: n=1(7n+16n+5)3n+2. Решение.

Разберем подробнее:

1. Применяем формулу.
2. Вместо an пишем общий член.
3. Преобразуем.
4. Получаем неопределенность.
5. Делим на старшую степень.

В итоге получаем число больше 1, а значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши

Что применять интегральный признак, придется вспомнить несобственные интегралы.

Правило простое: если существует 1+∞andn, то n=1an сходится или расходится вместе с интегралом.

Пример: n=21n . Чтобы применить признак, под знак интеграла заносим общий член, а в качестве пределов интегрирования берем 2 и ∞. Решение ниже.

Заносим ln(n) под знак дифференциала и выясняем, сходится интеграл или нет. В итоге получили бесконечность, следовательно, интеграл расходится, а значит, расходится и ряд.

Сумма

Здесь разберем лишь один способ, как найти сумму числового ряда. Он связан с методом неопределенных коэффициентов.

Пример: n=169n2+12n-5.

Для начала находим корни квадратного уравнения, которое записано в знаменателе.

Это нужно, чтобы разложить знаменатель на множители: 9n2+12n-5=(3n+5)*(3n-1).

Используем метод неопределенных коэффициентов.

Получаем, что общий член выглядит вот так.

Теперь вычисляем частичную сумму. Для этого необходимо посчитать, например, 5 первых элементов. Они будут равны: a1=1/2-1/8, a2=1/5-1/11, a3=1/8-1/14, a4=1/11-1/17, a5=1/14-1/20. Складываем все, вплоть до an. Также замечаем, что некоторые из приведенных цифр сократятся.

Возможно, у кого-то появятся проблемы с тремя последними компонентами an-3, an-2, an-1. Чтобы их вычислить, подставляем в общий член вместо «n» «n-3», «n-2», «n-1». Пример для n-3.

В конце находим сумму, как предел от частичной суммы.

Числовые ряды – не самая сложная тема математического анализа. Чтобы правильно определять, сходится или расходится последовательность, достаточно ориентироваться в пределах и несобственных интегралах.

А вы смогли сразу разобраться с этой темой? Или все же она вызывала у вас трудности? Пишите свое мнение в комментариях, а также добавляйте статью в закладки, чтобы не потерять. Возможно, она пригодится вам в будущем.