Алгебраические выражения: значение и теория
Алгебраическое выражение – это конечная комбинация символов, подчиняющаяся определенным правилам. Если эти правила нарушаются, то выражение нельзя считать алгебраическим.
Состав алгебраического выражения
Алгебраическое выражение строится из констант и переменных, которые соединены друг с другом алгебраическими операциями.
Константа – это величина, имеющая постоянное значение. Традиционно для обозначения констант используются первые буквы латинского алфавита (a, b, c и т. д.).
Переменная – это величина, которая может принимать разные значения. В алгебраических выражениях переменные представляются некими символами (обычно буквами). Если вместо переменной подставить в выражение число, то можно вычислить численное значение алгебраического выражения.
Под алгебраической операцией, когда речь идет об алгебраическом выражении, понимаются следующие операции:
- сложение;
- вычитание;
- умножение;
- деление;
- возведение в степень, причем показатель степени обязательно должен быть целым числом;
- извлечение корня, причем показатель корня должен быть обязательно целым числом.
Примеры алгебраических выражений:
Данное определение алгебраического выражения приводит к интересным случаям, когда одно и то же выражение может считаться алгебраическим относительно одной входящей в него переменной, но неалгебраическим относительно другой переменной. Вот пример такого выражения:
Это выражение является алгебраическим относительно переменной х и неалгебраическим относительно переменной у.
Следующая иллюстрация показывает общую схему алгебраического выражения:
Следует подчеркнуть, что нужно различать алгебраическое выражение и математическую формулу:
- математическая формула – это высказывание, записанное специальными символами;
- алгебраическое выражение – это математический объект, соответствующий определенным требованиям.
Поясним на примере:
В состав алгебраического выражения входят алгебраические члены. Члены алгебраического выражения.
Алгебраический член – это число или переменная, или числа и переменные, связанные операцией умножения или деления, или возведения в степень. Выражение может состоять только из одного члена, либо из нескольких членов, связанных друг с другом операциями сложения или вычитания.
Пример в таблице:
Чем отличаются алгебраические и арифметические выражения. Понятие алгебраического выражения шире, чем понятие арифметического выражения. Арифметическое выражение может включать в себя только константы, скобки и знаки арифметических операций.
Порядок действий в алгебраическом выражении
Порядок выполнения вычислений полностью однозначно определяется расстановкой скобок. При этом у операций нет приоритета: сначала выполняется действие в самых вложенных скобках. Таким образом, никаких разночтений возникнуть не может.
Но на практике часто по умолчанию используется приоритет операций, позволяющий существенно сократить количество скобок в записях. В порядке убывания приоритета операции располагаются следующим образом:
- возведение в степень (наивысший приоритет – выполняются в первую очередь);
- смена знака (унарный минус);
- умножение, деление – обладают одинаковым приоритетом;
- сложение и вычитание.
Операции с одинаковым приоритетом выполняются слева направо.
Таким образом, если мы хотим вычислить значение выражения 9/3*(2+3), то порядок действий должен быть следующим:
- 2 + 3 = 5;
- 9 / 3 = 3;
- 3 * 5 = 15.
Но если дополнительно расставить скобки (9/3) * (2+3) вероятность допустить ошибку существенно снизится. Поэтому лучше не пренебрегать «лишними» скобками в записях громоздких или ненаглядных выражений.
Виды алгебраических выражений
Алгебраические выражения подразделяются на следующие виды:
Пояснение к схеме:
- Целые алгебраические выражения: к переменным применяются только операции сложения, вычитания, умножения и возведения в целую степень, т. е. нет деления на переменную (но деление на константу может присутствовать) и нет извлечения корня из переменной;
- Дробные алгебраические выражения: обязательно содержат деление на переменную в целой степени;
- Рациональные алгебраические выражения: объединяют в себе целые и дробные выражения;
- Иррациональные (радикальные) алгебраические выражения: обязательно содержат извлечение корня из переменной.
Видео по теме:
Как разложить на множители квадратный трехчлен читайте в нашей статье.
Отзывы и комментарии